درسنامه آموزشی فصل اول هندسه (2) کلاس یازدهم ریاضی

1- ثابت کنید یک ذوزنقه، محاطی است، اگر و تنها اگر متساوی‌الساقین باشد.

فرض: ذوزنقه محاطی است.    حکم: $AD = BC$

$\left. \begin{gathered}
  AB||DC\,\,\,,\,\,\,AD\,\, \to \,\,\hat A + \hat D = {180^ \circ } \hfill \\
  \hat A + \hat C = {180^ \circ } \hfill \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow \hat A + \hat D = \hat A + \hat C \Rightarrow \hat D = \hat C \to \hat A = \hat B$

در این ذوزنقه زاویه‌های مجاور به ساق برابرند در نتیجه ذوزنقه متساوی‌الساقین است.

2- مساحت مثلث متساوی‌الاضلاعی را به‌دست آورید که در دایره‌ای به شعاع $R$ محاط شده باشد.

مرکز دایره محیطی مثلث، محل برخورد عمود منصف‌های اضلاع مثلث است و چون مثلث متساوی‌الاضلاع است، نقطه $O$ محل برخورد نیمسازها نیز است.

بنابراین:

${S_{A\mathop B\limits^\Delta  C}} = \frac{{AH.BC}}{2}$

$AH = OA + OH \Rightarrow AH = R + OH\,\,\,\,\,\,\,(1)$

$O\mathop B\limits^\Delta  H:{\hat B_1} = {30^ \circ } \to \sin {\hat B_1} = \frac{{OH}}{{OB}} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{{OH}}{R} \to OH = \frac{R}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$

$2 \to AH = R + \frac{R}{2} \Rightarrow AH = \frac{3}{2}R$ و $1$

$O\mathop B\limits^\Delta  H:{\hat B_1} = {30^ \circ } \Rightarrow \cos {\hat B_1} = \frac{{BH}}{{OB}} \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{BH}}{R} \Rightarrow $

$BH = \frac{{\sqrt 3 }}{2}R \Rightarrow BC = 2BH \Rightarrow BC = \sqrt 3 R$

${S_{A\mathop B\limits^\Delta  C}} = \frac{1}{2} \times \frac{R}{2} \times \sqrt 3 R = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{R^2}$

3- ثابت کنید عمود منصف یک ضلع هر مثلث و نیمساز زاویهٔ مقابل به آن ضلع، یکدیگر را روی دایرهٔ محیطی مثلث قطع می‌کنند.

فرض می‌کنیم $AD$ نیمساز زاویه $A$ دایره محیطی مثلث $ABC$ را در نقطه $D$ قطع کند.

${\hat A_1} = {\hat A_2} \to CD = DB \Rightarrow \overline {CD}  = \overline {DB} $

بنابراین، فاصله $D$ از دو سر ضلع $BC$ به یک اندازه است و این یعنی اینکه $D$ روی عمود منصف ضلع $BC$ قرار دارد. پس نیمساز زاویه $A$ و عمودمنصف ضلع مقابل به زاویه $A$ یعنی $BC$ همدیگر را روی نقطه‌ای روی دایره محیطی مثلث $ABC$ قطع می‌کند.

4- یک ذوزنقه، هم محیطی است و هم محاطی. ثابت کنید مساحت این ذوزنقه برابر است با میانگین حسابی دو قاعده آن ضرب در میانگین هندسی آنها.

چون ذوزنقه $ABCD$ محاطی است، طبق سؤال 1، متساوی‌الساقین است یعنی رابطه 1: $AD = BC$.

از طرفی چون ذوزنقه $ABCD$ محیطی است پس داریم: رابطه 2           $AB + DC = AD + BC$.

$2\,\, \Rightarrow 2BC = AB + DC \Rightarrow BC = \frac{{AB + DC}}{2}\,\,\,3$ و 1

4  $B\mathop H\limits^\Delta  C:B{C^2} = B{H^2} + H{C^2} \Rightarrow B{C^2} = B{H^2} + {x^2}$

$ABCD:DC = 2x + HH' \to HH' = AB \to DC = 2x + AB \Rightarrow x = \frac{{DC - AB}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5$

$5 \Rightarrow B{C^2} = B{H^2} + {x^2} \Rightarrow BH = \sqrt {B{C^2} - {x^2}}  \to (3),(5) \to $ و 4

$BH = \sqrt {{{\left( {\frac{{AB + DC}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{DC - AB}}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {AB.DC} $

${S_{A\mathop {BCD}\limits^\Delta  }} = \left( {\frac{{AB + DC}}{2}} \right)\sqrt {AB.DC} $

5- اگر ${r_b}\,,\,{r_a}$ و ${r_c}$ شعاع‌های سه دایره محاطی خارجی مثلث و $r$ شعاع دایره محاطی داخلی باشد، نشان دهید.

$\frac{1}{{{r_a}}} + \frac{1}{{{r_b}}} + \frac{1}{{{r_c}}} = \frac{1}{r}$

$S = rp \Rightarrow \frac{1}{r} = \frac{p}{S}$

${r_a} = \frac{S}{{p - a}} \Rightarrow \frac{1}{{{r_a}}} = \frac{{p - a}}{S}$

${r_b} = \frac{S}{{p - b}} \Rightarrow \frac{1}{{{r_b}}} = \frac{{p - b}}{S}$

${r_c} = \frac{S}{{p - c}} \Rightarrow \frac{1}{{{r_c}}} = \frac{{p - c}}{S}$

$\frac{1}{{{r_a}}} + \frac{1}{{{r_b}}} + \frac{1}{{{r_c}}} = \frac{{p - a}}{S} + \frac{{p - b}}{S} + \frac{{p - c}}{S} = \frac{{3p - (a + b + c)}}{S} = \frac{{3p - 2p}}{S} = \frac{p}{S} = \frac{1}{r}$

$ \Rightarrow \frac{1}{{{r_a}}} + \frac{1}{{{r_b}}} + \frac{1}{{{r_c}}} = \frac{1}{r}$

به همین ترتیب اگر ${h_a}$، ${h_b}$ و ${h_c}$ اندازه‌های سه ارتفاع باشند، نشان دهید:

$\frac{1}{{{h_a}}} + \frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}} = \frac{1}{r}$

$\left. \begin{gathered}
  S = \frac{1}{2}a{h_a} \Rightarrow {h_a} = \frac{{2S}}{a} \Rightarrow \frac{1}{{{h_a}}} = \frac{a}{{2S}} \hfill \\
  S = \frac{1}{2}b{h_b} \Rightarrow {h_b} = \frac{{2S}}{b} \Rightarrow \frac{1}{{{h_b}}} = \frac{b}{{2S}} \hfill \\
  S = \frac{1}{2}c{h_c} \Rightarrow {h_c} = \frac{{2S}}{c} \Rightarrow \frac{1}{{{h_c}}} = \frac{c}{{2S}} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow \frac{1}{{{h_a}}} + \frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}} = \frac{a}{{2S}} + \frac{b}{{2S}} + \frac{c}{{2S}} = \frac{{a + b + c}}{{2S}} = \frac{{2p}}{{2S}} = \frac{p}{S} = \frac{1}{r}$

$ \Rightarrow \frac{1}{{{h_a}}} + \frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}} = \frac{1}{r}$

6- اگر نقاط تماس دایره محاطی داخلی مثلث $ABC$ با اضلاع آن $M$، $N$ و $K$ باشند و $T$ و $T'$ نقطه‌های تماس یک دایره محاطی خارجی با خط‌های شامل دو ضلع باشند، نشان دهید:

$AM = AN = P - a$

$\left. \begin{gathered}
  AN = c - BN \hfill \\
  AM = b - CM \hfill \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow AM + AN = b + c - (BN + CM)$

$\xrightarrow[{CM = CP\,,\,BN = BP}]{{AM = AN}}2AM = b + c - \underbrace {(BP + CP)}_a = b + c - a$

$2AM = 2p - 2a \Rightarrow AM = AN = p - a$

$BN = BK = P - b$

$\left. \begin{gathered}
  BN = c - AN \hfill \\
  BP = a - CP \hfill \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow BN + BP = a + c - (AN + CP)$

$\xrightarrow[{AN = AM\,,\,CP = CM}]{{BP = BN}}2BN = a + c - \underbrace {(AM + CM)}_b = a + c - b$

$2BN = 2p - 2b \Rightarrow BN = BP = p - b$

$CM = CK = P - C$

$AT = AT' = P$

$AT + AT' = c + BT + b + CT'\xrightarrow[{BT = BQ\,,\,CT' = CQ}]{{AT = AT'}}2AT = c + b + \underbrace {BQ + CQ}_a = c + b + a = 2p$

$ \Rightarrow 2AT = 2p \Rightarrow AT = AT' = p$

7- یک دایره به شعاع $r$ و $n$ ضلعی‌های منتظم محاطی و محیطی در آن در نظر بگیرید. نشان دهید اگر $AB$ و $CD$ اندازه‌های ضلعی‌های $n$ ضلعی منتظم محیطی و محاطی باشند، آن‌گاه $AB = 2r\tan \frac{{180}}{n}$ و $CD = 2r\sin \frac{{180}}{n}$.

$O\mathop H\limits^\Delta  D:\hat H = {90^ \circ } \to \sin \frac{{180}}{n} = \frac{{OH}}{{OD}} \to OD = r \to \sin \frac{{180}}{n} = $

$\frac{{D{H^{ \times 2}}}}{r} \Rightarrow 2\sin \frac{{180}}{n} = \frac{{2DH}}{r} \to 2DH = CD \to CD = 2r\sin \frac{{180}}{n}$

$O\mathop M\limits^\Delta  B:\hat M = {90^ \circ } \to \tan \frac{{180}}{n} = \frac{{MB}}{{OM}} \to OM = r \to \tan \frac{{180}}{n} = \frac{{MB}}{r}$

$\mathop  \Rightarrow \limits^{ \times 2} 2\tan \frac{{180}}{n} = \frac{{2MB}}{r}\underline{\underline {2MB = AB}}  \Rightarrow AB = 2r\tan \frac{{180}}{n}$

8- شش ضلعی منتظم $ABCDEF$ مفروض است با امتداد دادن اضلاع شش ضلعی. مطابق شکل، مثلث $MNP$ را ساخته‌ایم.

الف) نشان دهید $MNP$ متساو‌الاضلاع است.
با توجه به شکل و با توجه به اینکه اندازه هر زاویه داخلی شش ضلعی منتظم ${120^ \circ }$ است، اندازه زاویه‌های $M$، $N$ و ${60^ \circ }\,\,P$ است؛ بنابراین مثلث $MNP$ متساوی‌الاضلاع است.

ب) نشان دهید مساحت شش ضلعی، دو سوم مساحت مثلث $MNP$ است.
اگر قطرهای شش ضلعی منتظم را رسم کنیم، شش مثلث متساوی‌الاضلاع داخل شش ضلعی و 9 مثلث متساوی‌الاضلاع در داخل مثلث $MNP$ به‌وجود می‌آید.

$\frac{{{S_{ABCDEF}}}}{{{S_{M\mathop N\limits^\Delta  P}}}} = \frac{{6{S_{O\mathop A\limits^\Delta  B}}}}{{9{S_{O\mathop A\limits^\Delta  B}}}} = \frac{2}{3}$

پ) از نقطهٔ دلخواه $T$ درون شش ضلعی عمودهای $TH$، $TH'$ و $TH''$ را به ترتیب بر $BC$، $ED$ و $AF$ رسم کنید. با توجه به آنچه از هندسهٔ پایهٔ 1 می‌دانید، مجموع طول‌های این سه عمود با کدام جزء از مثلث $MNP$ برابر است؟
در درون هر مثلث متساوی‌الاضلاع، مجموع فواصل هر نقطه از سه ضلع مثلث برابر طول ارتفاع مثلث است بنابراین:

$TH + TH' + TH'' = MM'$

ت) مجموع مساحت‌های مثلث‌های $TBC$، $TDE$ و $TAF$ چه کسری از مساحت مثلث $MNP$ است؟ نشان دهید:

${S_{TBC}} + {S_{TDE}} + {S_{TAF}} = {S_{TAB}} + {S_{TEF}} + {S_{TCD}}$

${S_{TBC}} + {S_{TDE}} + {S_{TAF}} = \frac{1}{2}TH.BC + \frac{1}{2}TH'.ED + \frac{1}{2}TH''.AF\underline{\underline {BC = ED = AF}} $

$\frac{1}{2}BC(\underbrace {TH + TH' + TH''}_h) = \frac{1}{2}BC.h$

${S_{MNP}} = \frac{1}{2}MN.h\frac{{{S_{TBC}} + {S_{TDE}} + {S_{TAF}}}}{{{S_{MNP}}}} = $

$\frac{{BC.}}{{3BC.}} = \frac{1}{3}$

${S_{TBC}} + {S_{TDE}} + {S_{TAF}} = \frac{1}{2}BC.h\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

${S_{TBB}} + {S_{TEF}} + {S_{TCD}} = \frac{1}{2}CD.TZ'' + \frac{1}{2}EF.IZ' + \frac{1}{2}AB.TZ.$

$\underline{\underline {AB = BC = CD = ED = EF = AF}} \frac{1}{2}BC(TZ + TZ' + TZ'')\underline{\underline {TZ + TZ' + TZ'' = h}} $

$\frac{1}{2}BC.h\,\,\,\,(2)$

$2 \Rightarrow {S_{TBC}} + {S_{TDE}} + {S_{TAF}} = {S_{TAB}} + {S_{TEF}} + {S_{TCD}} = \frac{1}{2}BC.h$ و $1$

9- دو قطر عمود بر هم $AC$ و $BD$ از یک دایره را رسم می‌کنیم؛ چهارضلعی $ABCD$ یک مربع است؛ چرا؟ عمود منصف‌های ضلع‌های این مربع را رسم کنید تا دایره را قطع کنند. نشان دهید هشت ضلعی $AMBQCPDN$ منظم است.

در چهار ضلعی $ABCD$ قطر همدیگر را نصف می‌کنند و باهم برابرند پس مستطیل است و چون قطرها برهم عمودند نتیجه می‌گیریم که مربع است.

عمود منصف هر ضلع نیمساز رأس مقابل نیز هست. پس:

${O_1} = {O_2} = {O_3} = {O_4} = {O_5} = {O_6} = {O_7} = {O_8} = {45^ \circ }$

$ \Rightarrow AM = MB = BQ = QC = CP = PD = DN = NA$
$ \Rightarrow AM = MB = BQ = QC = CP = PD = DN = NA$